Question

SOS SOS Знайти площу фігури обмежиної лініями у=lin x, y=lin3x,

Answer 1

Дано: найти площадь между линиями у=sin(x), y=sin(3x) в пределах от х =0 до х = π/2.

Находим точку пересечения линий - это условие sin(x) = sin(3x).

Синус тройного угла равен: sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x). Подставим:

sin(x) = 3sin(x) - 4sin³(x).

4sin³(x) = 2sin(x).

4sin³(x) - 2sin(x) = 0. Сократим на 2.

2sin³(x) - sin(x) = 0. Вынесем за скобки.

sin(x)(2sin²(x) - 1) = 0. Приравниваем нулю каждый множитель.

sin(x) = 0.    х = πк, к ∈ Z.

2sin²(x) - 1,  sin(x) = +-1/√2.

x = 2πк +- (π/4),   x = 2πк +- (3π/4).

Из этих корней выбираем тот, что находится между 0 и π/2.

Это х = 1/√2 или х = √2/2.

Заданная площадь этой точкой делится на 2 участка.

$S_1=\int\limits^{\frac{\pi}{4} }_0(sin3x-sinx)} \, dx =\frac{1}{3} (3cosx-cos3x)|_0^{\frac{\pi}{4} }=\frac{2\sqrt{2-2} }{3}$.

В числовом выражении S1 ≈ 0,27614.

Аналогично находим:

$S_2=\int\limits^{\frac{\pi}{2} }_{\frac{\pi}{4} } {(sinx-sin3x)} \, dx =\frac{1}{3} (3cosx-cos3x)|_{\frac{\pi}{4}^{\frac{\pi}{2} } }=\frac{2\sqrt{2} }{3}$

В числовом выражении S2 ≈ 0,94281.

Ответ: площадь равна (1/3)*(4√2 - 2) ≈ 1,21895.