Question

Вычислить пределы функций, используя I, II замечательные пределы и эквивалентность БМФ.

Answer 1

При $\sf x \rightarrow 0$  $\sf \arcsin x \sim \sin x \sim x$;

Таким образом, можно переписать предел:

$\sf \lim \limits_{x\rightarrow 0}(1-\ln(1+x^{3}))^{\frac{3}{x^{3}}$; Удобно сделать замену: $\sf x^{3}:=\frac{1}{t}$; Предел получится таким:

$\sf\lim \limits_{t\to \infty}(1-\ln(\frac{t+1}{t}))^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(1-\ln(\frac{1}{t})-\ln(t+1))^{3t}$; Воспользуемся следующим фактом: $\sf\log_{a}x \sim \frac{x}{\ln a},\; \textbf{if}\;\; x\to 0$ При этом $\sf\ln(1+x) \sim x$ ; Тогда: $\sf\lim\limits_{t\to\infty}(1-\ln(1+\frac{1}{t}))^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(1-\frac{1}{t})^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(\frac{t-1}{t})^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(\frac{t}{t+1})^{3t}=\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{-3t}$; Последний предел очевиден: $\sf\lim\limits_{t\to\infty}((1+\frac{1}{t})^{t})^{-3}=e^{-3}$