Question

Про натуральные числа m и n известно, что m^2+m+n^2 делится на mn. Докажите, что m - точный квадрат

Answer 1

Если m=1, то m является полным квадратом ($1=1^2$), поэтому этот случай можно не рассматривать.

Пусть m>1 не является полным квадратом, тогда в разложении m на простые множители (существование такого разложения гарантируется основной теоремой арифметики)

$m=p_1^{t_1}p_2^{t_2}\cdot \ldots \cdot p_k^{t_k}$

хотя бы один показатель является нечетным числом. Не теряя общности, можно предположить, что это $t_1=2s+1.$

По условию $m(m+1)+n^2=mna,$ где a - целое число. Разделим это равенство на m:

$m+1+\frac{n^2}{m}=na.$

Поскольку m+1 и na - целые числа, $\frac{n^2}{m}$ является целым числом, то есть $n^2$ делится на m, откуда $n^2$ делится на $p_1^{2s+1}.$ Отсюда следует, что n делится на $p_1^{s+1},$ следовательно $n^2$ делится на $p_1^{2s+2}.$

Теперь мы уже на финише. Из последнего рассуждения следует, что $\frac{n^2}{m}$ делится на $p_1,$ na, естественно, делится на $p_1,$ но (m+1) ну никак не может делиться на $p_1,$ поскольку соседние натуральные числа взаимно просты (а m делится на $p_1$).

Полученное противоречие доказывает, что m обязано быть полным квадратом.