Question

Помогите, пожалуйста!

Answer 1

1. $f_n(x)=\sin\frac{x}{n}.$

Сходимость этой последовательности к нулевой функции на всей числовой прямой очевидна: при фиксированном x

$\lim\limits_{n\to \infty}\sin\frac{x}{n}=0$.

О равномерной сходимости на всей прямой говорить не приходится, так как если $\epsilon\in (0;1),$ то для любого n можно подобрать  $x_n$ таким образом, чтобы$|f_n(x_n)|>\epsilon.$  

Например, годится $x_n=\frac{\pi n}{2}$ - в этом случае $|f_n(x_n)|=|\sin\frac{\pi}{2}|=1>\epsilon.$

Замечание. А вот на любом конечном промежутке эта последовательность сходится равномерно, но нас об этом не спрашивают.

2. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{x^4+n^5}.$ Этот ряд сходится равномерно, так как $|u_n|=\left|\frac{1}{x^4+n^5}\right|\le\frac{1}{n^5}=c_n.$ Положительный числовой ряд $\sum c_n$ сходится как обобщенный гармонический ряд с показателем 5>1, а исходный функциональный ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.