Question

Найти экстремум функции двух переменных. Заранее спасибо.

Answer 1

Найдем частные производные по переменным x, y:

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=2\cdot 2x-2y-2=4x-2y-2\\ \\ \frac{\partial z}{\partial y}=2\cdot 2y-2x-2=4y-2x-2$

Приравниваем частные производные к нулю:

$\displaystyle \left \{ {{4x-2y-2=0} \atop {4y-2x-2=0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~~+\left \{ {{4x-2y-2=0} \atop {8y-4x-4=0}} \right. \\ \\ 8y-2y-2-4=0\\ 6y=6\\ y=1\\ \\ x=2y-1=2\cdot 1-1=1$

Вычислим теперь частные производные второго порядка для построения матрицы Гессиана:

$\displaystyle \frac{\partial^2z}{\partial x^2}=4;~~~~~~~\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=4;~~~~~~\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=-2$

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}4&-2\\ -2&4\end{array}\right)\\ \\ з_1=4>0\\ \\ з_2=\left|\begin{array}{ccc}4&-2\\ -2&4\end{array}\right|=4\cdot 4-(-2)\cdot (-2)=16-4=12>0$

В точке (1;-1) имеется минимум $z(1;-1)=2\cdot 1^2+2\cdot (-1)^2-2\cdot 1\cdot(-1)-2\cdot 1-2\cdot (-1)+1=-1$