Question

Помогите пожалуйста решить. 1 и 2 пример решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, а 3 и 4 пример решение неоднородных дифференциальных уравнений методом Бернулли. Помогите пожалуйста, с подробным решение пожалуйста

Answer 1

1. $\sqrt{3+y^2} dx - ydy = x^2ydy\\\sqrt{3+y^2} dx = (x^2y+y)dy\\\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{3+y^2} }{y(x^2+1)}\\\int\limits {\frac{y}{\sqrt{3+y^2} } } \, dy = \int\limits {\frac{dx}{x^2+1} } \,\\\frac{1}{2} \int\limits {\frac{1}{\sqrt{3+y^2} } } \, dy^2 = \int\limits {\frac{1}{x^2+1} } \, dx\\\frac{1}{2} ln|3+y^2| = arctgx + c\\ln(3+y^2) = \frac{arctgx}{2} +c$

2. $6xdx - 6ydy = 2x^2ydy - 3xy^2dx\\(6x+3xy^2)dx = (2x^2y+6y)dy\\\frac{dy}{dx} = \frac{3x(2+y^2)}{2y(x^2+3)} \\\int\limits {\frac{y}{2+y^2} } \, dy = \frac{3}{2} \int\limits {\frac{x}{x^2+3} } \, dx \\\int\limits {\frac{1}{2+y^2} } \, dy^2 = \frac{3}{2} \int\limits {\frac{1}{x^2+3} } \, dx^2 \\\frac{1}{2} ln|2+y^2| = \frac{3}{4} ln|x^2+3|+c\\ln(2+y^2) = \frac{3}{2} ln(x^2+3)+c$

3. $y' - \frac{1}{x+1} y = e^x(x+1)\\y = uv, y'=u'v+uv'\\u'v+uv' - \frac{uv}{x+1} = e^x(x+1)\\u'v + u[v'-\frac{v}{x+1} ] = e^x(x+1)\\v'-\frac{v}{x+1} = 0 \\\frac{dv}{dx} = \frac{v}{x+1} \\\int\limits {\frac{dv}{v} } \, = \int\limits {\frac{dx}{x+1} } \, \\ln|v| = ln|x+1|\\v=x+1\\u'(x+1) = e^x(x+1)\\u' = e^x\\\frac{du}{dx} = e^x\\\int\limits {} \, du = \int\limits{e^x} \, dx \\u = e^x+c\\y = uv = e^x(x+1)+c$

4. $y' - \frac{y}{x} = xsinx\\y = uv, y'=u'v+uv'\\u'v+uv' - \frac{uv}{x} = xsinx\\u'v + u[v'-\frac{v}{x} ] = xsinx\\v'-\frac{v}{x} = 0 \\\frac{dv}{dx} = \frac{v}{x} \\\int\limits {\frac{dv}{v} } \, = \int\limits {\frac{dx}{x} } \, \\ln|v| = ln|x|\\v=x\\u'x = xsinx\\u' = sinx\\\frac{du}{dx} = sinx\\\int\limits {} \, du = \int\limits{sinx} \, dx \\u = -cosx+c\\y = uv = -xcosx+c$