Question

Исследовать ряд на сходимость

Answer 1

$a_n=\frac{\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1}}{n}=\frac{(\sqrt{n^2+n+1}-\sqrt{n^2-n+1})(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1})}{n(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1})}=$

$=\frac{n^2+n+1-n^2+n-1}{n(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1})}=\frac{2n}{n(\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1})}=\frac{2}{\sqrt{n^2+n+1}+\sqrt{n^2-n+1}}=$

$\frac{2}{n\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}\right)}\sim \frac{2}{n(1+1)}=\frac{1}{n}$

Как известно, гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, а поскольку члены нашего ряда эквивалентны членам гармонического ряда, то и наш ряд расходится по признаку сравнения (напомню на всякий случай, что такой признак можно применять только для знакопостоянных рядов, попытка заменить члены знакопеременного ряда на эквивалентные члены может привести к неверным выводам).

Ответ: расходится