Question

Помогите решить , пожалуйста y” – y’ = – 5e^–x (cosx + sinx)

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

1) Вычислим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$\boldsymbol{y''-y'=0}$

Выполнив замену $\boldsymbol{y=exp\{kx\}}$, мы получим характеристическое уравнение:

$\boldsymbol{k^2-k=0~~\Rightarrow~~~ k(k-1)=0;~~\Rightarrow~~ k_1=0;~~ k_2=1}$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$\boldsymbol{y^*=C_1+C_2e^x}$

2) Рассмотрим функцию $\boldsymbol{f(x)=-5e^{-x}\left(\cos x+\sin x\right)}\\ \boldsymbol{\alpha =-1}\\ \boldsymbol{P_n(x)=-5(\cos x+\sin x)~~~\Rightarrow~~~ \beta=1;~~~~ n=1}$

Сравнивая $\boldsymbol{\alpha,~\beta}$  с корнями характеристического уравнения и , принимая во внимания, что $\boldsymbol{n=1}$, частное решение будем искать в виде:

$\boldsymbol{\overline{y}=e^{-x}(A\cos x+B\sin x)}$

Найдем первую и вторую производную функции

$\boldsymbol{y'=e^{-x}(-A\cos x-A\sin x+B\cos x-B\sin x)}\\ \\ \boldsymbol{y''=e^{-x}(2A\sin x-2B\cos x)}$

Подставляем в исходное уравнение

$\boldsymbol{2A\sin x-2B\cos x+A\cos x+A\sin x-B\cos x+B\sin x=}\\ \\ \boldsymbol{=-5\cos x-5\sin x}\\ \\ \boldsymbol{3A\sin x-3B\cos x+A\cos x+B\sin x=-5\cos x-5\sin x}\\ \\ \boldsymbol{\cos x(A-3B)+\sin x(B+3A)=-5\cos x-5\sin x}$

Приравниваем коэффициенты при sinx и cosx.

$\displaystyle \boldsymbol{\left \{ {{A-3B=-5} \atop {B+3A=-5}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{A=-2} \atop {B=1}} \right.}$

Частное решение: $\boldsymbol{\overline{y}=e^{-x}(\sin x-2\cos x)}$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

    $\boldsymbol{y=y^*+\overline{y}=C_1+C_2e^{x}+e^{-x}(\sin x-2\cos x)}$