Question

В прямоугольном треугольнике АВС АС - гипотенуза. Медиана АМ пересекает биссектрису CК в точке О. Найти площадь треугольника АВС, если СО = 9, OК = 5.

Answer 1

Отразим треугольник ABC со всеми его причиндалами (конечно, имея в виду медиану и биссектрису) относительно стороны BC. Что касается наименований, то пусть при отражении точка X переходит в точку X'.

Из подобия треугольников A'K'O' и A'OC следует, что A'K'/K'C=5/4=AK/KB.

Пусть AK=5y, BK=4y. Так как CK - биссектриса, то BC/AC=4/5; Пусть тогда BC=4x, AC=5x; По теореме Пифагора: 16y²+16x²=14²; и 16x²+81y²=25x² ⇔ 3y=x ⇒ 16y²+144y²=196 ⇔ y²=196/160; S=9y×4(3y)/2=54y² = 54×196/160 = 66,15

Answer 2

Проведём из точки D прямую DK, параллельную ВС, тогда  

ΔADK подобен ΔАВС, ΔDOP подобен ΔМОС по 2 углам ⇒ AB/AD = BC/DK = (1/2)•BC / (1/2)•DK  ;  CO/OD = MC/DP = (1/2)•BC / (1/2)•DK  ⇒  AB/AD = CO/OD = 9/5

Пусть ∠ВСD = ∠ACD = α , тогда cos2α = BC/AC = BD/AD = 4/5 по свойству биссектрисы.

cos2α = 2cos²α - 1  ⇒  cosα = 3/√10  ;  sinα = 1/√10

В ΔBCD:  cosα = BC/DC ⇒ BC = 42/√10  ;  BD = 14/√10

Площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания:

S abc/ S bdc = AB/BD = 9/4 ⇒ S abc = (9/4)•S bdc =

= (9/4)•(1/2)•(42/√10)•(14/√10) = 1323/20 = 66,15

ОТВЕТ: S abc = 66,15