Question

Решить уравнение с модулем.

-4*|x^2 - 1| - 3 >= 1/ x^2 - 1.

Answer 1

$-4|x^2-1|-3\ge \frac{1}{x^2-1};\ x^2-1=t;\ -4|t|-3\ge \frac{1}{t}.$

1-й случай: t>0. В этом случае решений быть не может, так как левая часть отрицательна, а правая положительна, а отрицательное число не может быть больше положительного.

2-й случай: t<0. В этом случае |t|= - t, и мы получаем неравенство

$4t-3\ge\frac{1}{t},$ а умножив его на отрицательное t (не забыв при этом поменять неравенство на противоположное), получаем

$4t^2-3t\le 1;\ 4t^2-3t-1\le 0; (t-1)(4t+1)\le 0.$

Вспоминаем, что t<0, откуда t-1<0, поэтому второй множитель 4t+1 обязан быть неотрицательным:

$4t+1\ge 0;\ 4t\ge -1;\ t\ge -\frac{1}{4}\Rightarrow t=x^2-1\in[-\frac{1}{4};0);   x^2\in[\frac{3}{4};1); |x|\in[\frac{\sqrt{3}}{2};1);$

Ответ: $x\in (-1;-\frac{\sqrt{3}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$