Question

При каких a уравнение будет иметь ровно два решения

Answer 1

Ответ:

$a\in(-4,-3)\cup(-3,0)\cup(0,5)\cup(5,+\infty)$

Пошаговое объяснение:

В числителе стоит квадратный трёхчлен, у него может быть не более 2 корней. Значит, чтобы у уравнения было ровно 2 различных корня, числитель должен иметь 2 корня, и ни один из корней числителя не должен быть корнем знаменателя.

У числителя два неравных корня, если дискриминант больше нуля:

$D/4=4+a>0$

Ищем корни знаменателя:

$D/4=16a^2-15a^2=a^2\\x=\dfrac{4a\pm a}{15}\in\left\{\dfrac a3,\dfrac a5\right\}$

Итак, нужно, чтобы ни x = a/3, ни x = a/5 не были корнями числителя:

$\begin{cases} (\frac a3)^2+4(\frac a3)-a\ne0\\ (\frac a5)^2+4(\frac a5)-a\ne0\end{cases}\begin{cases} a\ne-3\\a\ne0\\a\ne5\end{cases}$

Выкалываем найденные точки из решения неравенства a > -4 и получаем ответ.