Question

Решить:
2sin^2x+3корней3sin(п/2+x)+4=0
Отобрать корни на промежутке [-5п/2;-п]

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle 1) \; x=\pm \frac{5 \cdot \pi }{6} +2 \cdot \pi \cdot k, k \in Z.$

$\tt \displaystyle 2) \; x= \frac{-7 \cdot \pi }{6} .$

Пошаговое объяснение:

1) Находим все решение уравнения

$\tt \displaystyle 2 \cdot sin^{2}x+3 \cdot \sqrt{3} \cdot sin(\frac{\pi }{2}+x )+4=0$

Применим следующие тождественные преобразования:

$\tt \displaystyle sin^{2}x=1-cos^{2}x\\\\ sin(\frac{\pi }{2}+x )=cosx$

Тогда

$\tt \displaystyle 2 \cdot (1-cos^{2}x)+3 \cdot \sqrt{3} \cdot cosx+4=0\\\\2-cos^{2}x+3 \cdot \sqrt{3} \cdot cosx+4=0\\\\2 \cdot cos^{2}x-3 \cdot \sqrt{3} \cdot cosx-6=0$

Обозначим $\tt \displaystyle cosx=z$ и получим квадратное уравнение:

$\tt \displaystyle 2 \cdot z^{2}-3 \cdot \sqrt{3} \cdot z-6=0$

Решение квадратного уравнения:

$\tt \displaystyle D=(3 \cdot \sqrt{3})^{2} -4 \cdot 2 \cdot(-6)=27+48=75=(5\cdot \sqrt{3} )^{2}$

$\tt \displaystyle z_{1} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}-5\cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} =\frac{-2\cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2}=\frac{-\sqrt{3}}{2};\\\\z_{2} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}+5\cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2} =\frac{8\cdot \sqrt{3}}{4}=2\cdot \sqrt{3}.$

Так как $\tt \displaystyle -1\leq cosx\leq 1$ и $\tt \displaystyle z_{2} = 2\cdot \sqrt{3}>1$, то $\tt \displaystyle z_{2}$ не будет решением.

Решаем для $\tt \displaystyle z_{1}$ :

$\tt \displaystyle cosx=\frac{-\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x=\pm \frac{5 \cdot \pi }{6} +2 \cdot \pi \cdot k, k \in Z.$

2) Отберём корни уравнения на промежутке $\tt \displaystyle [\frac{-5\cdot\pi }{2}; -\pi ]$:

a) Пусть

$\tt \displaystyle x=- \frac{5 \cdot \pi }{6} +2 \cdot \pi \cdot k, k \in Z.$

Тогда

$\tt \displaystyle \frac{-5\cdot\pi }{2} \leq - \frac{5 \cdot \pi }{6} +2 \cdot \pi \cdot k \leq -\pi, k \in Z \;\; |\cdot 6\\\\-15\cdot\pi \leq -5\cdot\pi +12 \cdot \pi \cdot k \leq -6 \cdot \pi, k \in Z\;\; |+5 \cdot \pi \\\\-10\cdot\pi \leq 12 \cdot \pi \cdot k \leq - \pi, k \in Z\;\; |: 12 \cdot \pi\\\\-\frac{10}{12} \leq k \leq -\frac{1}{12} , k \in Z$

Последнее неравенство не имеет решения для целого k.

b) Пусть

$\tt \displaystyle x= \frac{5 \cdot \pi }{6} +2 \cdot \pi \cdot k, k \in Z.$

Тогда

$\tt \displaystyle \frac{-5\cdot\pi }{2} \leq \frac{5 \cdot \pi }{6} +2 \cdot \pi \cdot k \leq -\pi, k \in Z \;\; |\cdot 6\\\\-15\cdot\pi \leq 5\cdot\pi +12 \cdot \pi \cdot k \leq -6 \cdot \pi, k \in Z\;\; |-5 \cdot \pi \\\\-20\cdot\pi \leq 12 \cdot \pi \cdot k \leq -11\cdot \pi, k \in Z\;\; |: 12 \cdot \pi\\\\-\frac{20}{12} \leq k \leq -\frac{11}{12} , k \in Z$

Последнее неравенство имеет одно целое решение: k= -1.

Тогда, решение уравнения, принадлежащее промежутке $\tt \displaystyle [\frac{-5\cdot\pi }{2}; -\pi ]$ следующее:

$\tt \displaystyle x= \frac{5 \cdot \pi }{6} +2 \cdot \pi \cdot (-1)=\frac{5 \cdot \pi -12 \cdot \pi }{6} =\frac{-7 \cdot \pi }{6} .$