Question

В треугольник ABC вписана окружность с центром в точке O. Прямая BO вторично пересекает описанную окружрость в точке P.
а) Докажите, что CP = PO
б) Найдите радиус описанной окружности, если ABC = 120°, а расстояние от P до стороны AC равно 21.

P.s.: в (б) у меня получилось 14.

Answer 1

а)

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Откуда CO - биссектриса ∠ACB; BO - биссектриса ∠ABC. Биссектриса делит угол пополам.

В ΔOBC: ∠POC - внешний, поэтому равен сумме двух внутренних углов треугольника не смежных с ним. ∠POC = ∠OBC+∠BCO.

∠PCA = ∠PBA, как вписанные углы опирающиеся на одну дугу AP.

∠PBA = ∠PBC, как углы при биссектрисе. Так же ∠ACO = ∠BCO.

В ΔPOC:

∠PCO = ∠PCA+∠ACO = ∠PBC+∠BCO;

∠POC = ∠OBC+∠BCO;

∠PCO = ∠POC ⇒ ΔPOC - равнобедренный (OC - основание) значит, PO=PC, что и требовалось доказать.

б)

Пусть PH⊥AC и H∈AC, тогда PH=21. ∠ABC=120°. T - центр описанной окружности около ΔABC.

Четырёхугольник PABC - вписан в окружность, поэтому ∠APC+∠ABC=180°;

∠APC = 180°-120° = 60°.

∠PCA = ∠PBA = ∠ABC:2 = 120°:2 = 60°

В ΔPCA: ∠PCA=60°; ∠APC =60°; ΔPCA - равнобедренный, с углом при основании в 60°, поэтому это равносторонний треугольник.

Радиус описанной около ΔABC равен радиусу описанной около ΔPCA т.к. это одна окружность.

PH - высота правильного ΔPCA, а значит и медиана.

Центр описанной окружности около правильного треугольника является центром треугольника, в том числе и центром тяжести (т. пересечения медиан). Поэтому радиус описанной равен 2/3 от высоты.

PT = $\dfrac23$ PH = 21·2/3 = 14

Ответ: 14.