Question

Найдите корни уравнений cos(x/2)+sin(x/2)=1. (-180°;180°)

Answer 1

$x\in (-\pi;\pi)\Rightarrow t= \frac{x}{2}\in (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$

Если t лежит в 4-й четверти, синус отрицателен, поэтому сумма синуса и косинуса не может равняться 1 (ведь оба они лежат в пределах между минус 1 и 1). Поэтому $t\in [0;\frac{\pi}{2}).$  Если t=0, то cos t=1, sin t=0, то есть t=0 является решением. Если

$t=\in (0;\frac{\pi}{2})\Rightarrow \left \{ {{0<\cos t<1} \atop {0<\sin t<1}} \right. \Rightarrow \left \{ {{\cos t>\cos^2 t} \atop {\sin t>\sin^2 t}} \right.\Rightarrow \cos t+\sin t>\cos^2 t+\sin^2 t=1,$

то есть на этом промежутке решений нет. Поэтому единственное решение t=0, откуда x=0.

Ответ: 0