Question

помогите с параметром пж​

Answer 1

Ответ: a∈[√3-1 ; (3*√2 -2)/2]

Объяснение:

Замена:  

√(1+2*(x-a)^2)=m>=1 ( 2*(x-a)^2=m^2-1>=0 →m>=1)

√(1-(x-a)^2)=n>=0 ( -(x-a)^2=n^2-1<=0 ; n^2<=1 → n∈[0;1] )

a+1=t>1 (пока оставим в такой оценке,тк мы не знаем точное минимальное значение выражения m+n)  

Тогда уравнение эквивалентно системе:

m^2+2n^2=3 (заметим что если n∈[0;1] ,то m>=1)

m+n=t → m=t-n

(t-n)^2+2n^2=3

t^2-2*n*t+n^2 +2n^2-3=0

f(n)=3n^2-2*n*t +(t^2-3)=0

Таким образом приходим к обычной задаче.

Нужно найти такие значения параметра t, когда существует хотя бы один корень с промежутка n∈[0;1] , в этом случае √(1-(x-a)^2)=n разрешено относительно n, а значит имеет решение .

1. Рассмотрим случай , когда  1 корень лежит  на интервале   n∈[0;1] ,а другой нет.  Очевидно ,что это произойдет когда   0 лежит  внутри параболы, а  1 вне  параболы, либо когда 1 лежит внутри параболы, а 0  лежит вне параболы. Либо когда парабола пересекает 1  или 0.

Таким образом ,тк  A=3 >0 (ветви идут вверх):

1) f(0)>=0 ; f(1)<=0 (заметим , что выполнение  данного  условия гарантирует существование корней)

2)   f(1)>=0 ; f(0) <=0 (так же  гарантирует существование корней)

Это равносильно неравенству:

f(1)*f(0)<=0

f(0)=t^2-3=(t-√3)*(t+√3)

f(1)=3-2t+t^2-3=t^2-2t=t*(t-2)

Получаем неравенство:

t*(t-2)*(t-√3)*(t+√3)<=0

Решаем методом интервалов:

+ (-√3) - 0 + √3 - 2 +

тк нам нужно решение t>1 ,то  

t∈[√3;2]  

2. Рассмотрим случай когда оба корня  лежат на интервале n∈[0;1].

В этом случае не один из корней не лежит  внутри параболы,но чтобы исключить  возможность того,  что не один из корней не лежит на интервале n∈[0;1] нужно  дополнительное условие ,что  вершина параболы лежит на промежутке  n∈[0;1]. Так же  необходимо существование решений D>=0 ,тк первые два условия  еще не гарантируют существование решений:

f(1)>=0

f(0)>=0

0<nв<1

D>=0

Так  же не  забываем ,что  t>1

t*(t-2)>=0 → t∈[2;∞)  (c  учетом t>1)

(t-√3)*(t+√3)

>=0 →t∈[√3;∞]

nв=2t/6=t/3

0<t/3<1 →   0<t<3 →  1<t<3

D/4=t^2-3*(t^2-3)= -2t^2+9>=0

2t^2<=9 →   1<t<3/√2.

Пересекая все решения имеем:

t∈[2;3/√2]

Таким образом:

t∈[√3; 3*√2/2]

Или: (a=t-1)

a∈[√3-1 ; (3*√2 -2)/2].

Теперь решим вторым способом,применяя экстремум.

Предварительно сделав замену (x-a)=t

Запишем функцию:

f(t)=√(1+2t^2) +√(1-t^2)

Область определения:  |t|<=1 (функция ограничена , а значит имеет минимум и максимум на отрезке t∈[-1;1] ,так  же на этом отрезке  она является непрерывной)

Найдем  производную и приравняем к нулю:

f'(t)=  4t/2*√(1+2t^2)  -  2t/2*√(1-t^2)=0

t* (2/√(1+2t^2) -1/√(1-t^2) )=0  ( t≠+-1)

t*(2*√(1-t^2)  -√(1+2t^2) )=0

t1=0

2*√(1-t^2)=√(1+2t^2)

4*(1-t^2)=1+2t^2

6t^2-3=0

t^2=1/2

t=+-1/√2

Осталось  найти  значения функций  в точках :

t=0 ;+-1/√2 ;+-1  (на краях интервала тоже нужно проверять)

f(0)=√1 +√1=2

f(+-1)=√(1+2) +√(1-1)=√3

f(+-1/√2)=√(1+2*1/2)  +√(1-1/2)=√2+√(1/2)= √2 +1/√2 =3/√2=3*√2/2

fmin=√3

fmax=3*√2/2

Таким образом,тк функция непрерывна на интервале t∈[-1;1] :                      a+1=[√3; 3*√2/2]

a∈[√3-1 ; (3*√2 -2)/2].

Как  видим ,это более  простой путь, хоть и требует знания  экстремума функции.