Question

Известно, что при делении на 5 число а дает остаток 3. Какой остаток получится при делении на 5 числа 2а^2-5а+4

Answer 1

Проще всего такие задачи решаются с помощью сравнений. Говорят, что a и b сравнимы по модулю n (пишут $a\equiv b (mod n)$ ), если a и b имеют одинаковые остатки при делении на n (другими словами, a-b делится на n).  Простая теорема утверждает, что сравнения можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень. Пользуясь этим, получаем;

$a\equiv 3\ (mod\ 5)\Rightarrow a^2\equiv 3^2=9\equiv 4\ (mod\ 5)\Rightarrow 2a^2\equiv 2\cdot 4=8\equiv 3\ (mod\ 5).$

Далее, $5a\equiv 0\ (mod\ 5);\ 2a^2-5a+4\equiv 3-0+4=7\equiv 2\ (mod\ 5)$

Ответ: 2