Question

доброго времени суток, подскажите, пожалуйста. показательное неравенство с модулем.​

Answer 1

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\left|x-1\right|}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2+4x+5}$

Т.к. $0<\dfrac{1}{2}<1$, то ф-я $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t}$ - убывающая, т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Значит, исходное неравенство равносильно

$\left|x-1\right|>x^2+4x+5$

Случай первый:

Получим условие на раскрытие модуля со знаком "+"

$x-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq 1$

Решим соответствующее неравенство

$x-1>x^2+4x+5\medskip\\x^2+3x+6<0\medskip\\\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}<0\Leftrightarrow \varnothing$

Получили пустое множество, значит, в этом первом случае неравенство решений не имеет.

Случай второй:

Получим условие на раскрытие модуля со знаком "-"

$x-1<0\Leftrightarrow x<1$

Решим соответствующее неравенство

$1-x>x^2+4x+5\medskip\\x^2+5x+4<0\medskip\\\left(x+1\right)\left(x+4\right)<0\Leftrightarrow x\in\left(-4;-1\right)$

Пересечём полученное множество с условием

$\begin{cases}x<1\medskip\\x\in\left(-4;-1\right)\end{cases}\Leftrightarrow x\in\left(-4;-1\right)$

Ответ.  $x\in\left(-4;-1\right)$