Question

помогите решить 21 задание, пожалуйста

Answer 1

$\dfrac{x^2-x+a}{2x+3}=0$

Данное уравнение может иметь один корень в двух случаях: 1) числитель имеет один корень, попадающий в область определения уравнения (ООУ); 2) числитель имеет два корня, но один из них не попадает в ООУ.

Рассмотрим первый случай:

ООУ

$2x+3\neq 0 \Leftrightarrow x\neq -\dfrac{3}{2}$

Условие одного корня в числителе

$D=0\medskip\\1-4a=0\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}$

Проверим, попадёт ли этот корень в ООУ

$x^2-x+\dfrac{1}{4}=0\medskip\\\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\neq -\dfrac{3}{2}$

Значит, при $a=\dfrac{1}{4}$ данное уравнение имеет один корень.

Рассмотрим второй случай:

Необходимо, чтобы один из двух корней числителя не попал в ООУ

Значит, число $-\dfrac{3}{2}$ должно быть решением числителя. Отсюда найдём соответствующее этому случаю значение параметра $a$

$\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(-\dfrac{3}{2}\right)+a=0\medskip\\\dfrac{9}{4}+\dfrac{6}{4}+a=0\Leftrightarrow a=-\dfrac{15}{4}$

Условие двух корней в числителе

$D>0\medskip\\1-4a>0\Leftrightarrow a<\dfrac{1}{4}$

Заметим, что полученное в первом пункте значение $a=-\dfrac{15}{4}$ подходит под это условие, значит, корня действительно будет два.

Проверим, попал ли второй корень числителя в ООУ

Если уравнение $x^2-x-\dfrac{15}{4}=0$ имеет один корень $x_1=-\dfrac{3}{2}$ (уравнение было составлено из этого соображения), то по теореме Виета второй корень равен $x_2=\dfrac{5}{2}\neq -\dfrac{3}{2}$

Значит, также при $a=-\dfrac{15}{4}$ исходное уравнение имеет один корень.

Ответ.  $a_{\mathrm{min}}=-\dfrac{15}{4}$

PS. Проверку второго корня из числителя можно было опустить, указав, что при $a=-\dfrac{15}{4}$ числитель имеет обязательно два различных корня, соответственно, второй корень не может не попасть в ООУ.