Question

Найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения y"-8y'+25y=9e^(4x)

Answer 1

Решим характеристическое уравнение к²-8к+25=0, откуда к₁,₂=4±√(16-25);

к₁=4+3i; к₂=4-3i Общее решение однородного уо.о.=е⁴ˣ(с₁cos3x+с₂sin3x)частное решение неоднородного ищем в виде уч.н.= ае⁴ˣ находим первую и вторую производные этой функции , первая равна 4е⁴ˣ, вторая 16е⁴ˣ, подставляем их в уравнение, находим а.  16ае⁴ˣ-8(4ае⁴ˣ)+25ае⁴ˣ =9е⁴ˣ

9аеˣ=9е⁴ˣ, откуда а=1,  уч.н.=е⁴ˣ

общее решение неоднордного равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного, т.е

У=е⁴ˣ*(с₁cos3x+с₂sin3x+1)