Question

Решите наравенство
$2^{\frac{1-x}{x} } \ \textless \ 2^{\frac{1-2x}{2x} } +1$

Answer 1

$2^{\frac{1}{x}-1}<2^{\frac{1}{2x}-1}+1; 2^{\frac{1}{x}}<2^{\frac{1}{2x}}+2;\ 2^{\frac{1}{2x}}=t>0;\ t^2<t+2;\ t^2-t-2<0;$

$(t-2)(t+1)<0; t=2^{\frac{1}{2x}}\in(-1;2);\ 2^{\frac{1}{2x}}<2^1;\ \frac{1}{2x}<1;\ \frac{1}{2x}-1<0;$

$\frac{1-2x}{2x}<0;\ \frac{2x-1}{x}>0.$

Ответ: $(-\infty;0)\cup (\frac{1}{2};+\infty)$

Answer 2

2¹/ˣ⁻¹<2¹/²ˣ⁻¹+1;  2⁻¹=1/2, умножим обе части неравенства на 2

2¹/ˣ-2¹/²ˣ-2<0

Пусть у=2¹/²ˣ, где у >0. тогда у²-у-2<0, По теореме, обратной теореме Виета, корни левой части уравнения у₁=-2; у₂=1, и  

(y-2)(y+1)<0; решив это неравенство методом интервалов, разбив на интервалы числовую ось (∞;-1 );(-1;2);(2;+∞) установим знаки на этих интервалах, имеем у∈(-1;2), да еще учитав, что у>0, получим 0<2¹/ˣ<2  так как основание два больше единицы, то     1/(2х)<2

(1-2х)/2х<0, опять обратимся к методу интервалов, разобьем числовую ось на  интервалы (-∞;0); (0;0.5);(0.5;+∞) установим, что левая часть отрицательна при

х∈(-∞; 0)∪ (0.5;+∞)