Question

Назовите количество корней выражения $x^n=|nx|$ в зависимости от параметра n, если n целое, отличное от нуля число.

Answer 1

Основываться надо на свойствах степенной функции и линейной функции в модуле.

Правая часть - ломаная линия, симметричная оси Оу и проходящая через начало координат.

Левая - степенная  функция. При n = 1 имеем тождество и бесконечное число решений.

График степенной функции   y = x^n с натуральным нечетным показателем при различных значениях показателя степени n = 3, 5, 7.... проходит в 1 и 3 четвертях, поэтому имеет 2 точки пересечения с графиком правой части (одну в точке х = 0, вторая в 1 четверти).

При чётном показателе график функции   y = x^n проходит в 1 и 2 четвертях, получает 3 точки пересечения.

При отрицательных значениях показателя n график представляет собой гиперболу и имеет или 1 , или 2 точки пересечения.

Ответ:    значение n           количество корней

                                 1                                       ∞

                      3, 5, 7...                                       2

                      2, 4, 6...                                      3

                     -1, -3, -5...                                     1

                    -2, -4, -6...                                     2.