Question

Решите данное неравенство :

Answer 1

Учтём, что х² - 4 = (х -2)(х +2).

log₂(x -2) + log₂(x +2)  -3log₂(x+2) +3log₂(x -2) >2

4log₂(x -2) -2log₂(x +2) > 2

2log₂(x -2) - log₂(x +2) > 1

2log₂(x -2) - log₂(x +2) > log₂2

С учётом ОДЗ составим систему неравенств:

х - 2 > 0, ⇒ x > 2

x + 2 > 0, ⇒ x > -2

(x - 2)²/ (x +2) > 2, ⇒ (x - 2)²/ (x +2)  - 2  > 0,

Решаем 3-е нер-во методом интервалов.

(x - 2)²/ (x +2)  - 2  > 0,

(х² -4х +4 -2х -4)/(х +2) >0

(x² -6x)/(х +2) > 0

x² - 6x = 0

корни 0 и 6

х +2 = 0

х = -2

-∞                (-2)         (0)            (6)            +∞

         +                 +            -                  +            знаки  x² - 6x

          -                 +            +                 +           знаки х +2

                   IIIIIIIIIIIIIIII                 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII    это решение (x² -6x)/(х +2) > 0

Теперь общее решение:

-∞          (-2)            (0)        (2)          (6)             +∞

               IIIIIIIIIIIIIIIIIII                         IIIIIIIIIIIIIIIIIII это решение (x² -6x)/(х +2) >0

              IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII  это х > -2 (ОДЗ)

                                            IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII  это х > 2 (ОДЗ)

Ответ: х∈(6; +∞)