Question

Решить дифференциальное уравнение найти общее и частное решение
$y''+5y'=4e^x$

Answer 1

$y''+5y'=4e^x$

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме решений однородного и частного уравнений.

Составим и решим характеристическое уравнение.

$y(x)=e^{kx}\\y'(x)=ke^{kx}\\y''(x)=k^2e^{kx}\\k^2e^{kx}+5ke^{kx}=0\\e^{kx}(k^2+5k)=0\\e^{kx}\neq 0\\k^2+5k=0\\k_1=0,k_2=-5$

находим решение однородного уравнения

$y_{o.o}=C_1+C_2e^{-5x}$

Т.к 4 не корень характеристического уравнения и его мнимая часть равна нулю, то частное решение будем искать в виде

$\overline{y}=Ae^x$

Найдём первую и вторую производные, определи коэффициент A

$\overline{y'}=Ae^x\\\overline{y''}=Ae^x\\Ae^x+5Ae^x=4e^x\\6A=4\\A=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

Составим общее решение неоднородного уравнения

$y_{_{O.}_H}=C_1+C_2e^{-5x}+\frac{2}{3}e^x$

Answer 2

Решим характеристическое уравнение к²+5к=0, откуда к₁=0, к₂=-5

Общее решение однородного уо.о.=с₁+с₂е⁻⁵ˣ

частное решение неоднородного ищем в виде уч.н.= аеˣ

находим первую и вторую производные этой функции, получим

первая производная равна аеˣ, вторая производная равна аеˣ, подставляем эти данные в уравнение для определения коэффициента а.

аеˣ+5аеˣ=4еˣ, откуда а=4/6=2/3

общее решение неоднордного равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного, т.е.

У=с₁+с₂е⁻⁵ˣ+2еˣ/3