Question

Найти корни уравнения:
$\dfrac{3}{(x+3)(x-1)} -\dfrac{4}{(x+4)(x-2)} =-\dfrac{1}{2}$

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = -1+\sqrt{14}; x_{2} = -1-\sqrt{14}; x_{3}=0; x_{4} =-2$

Пошаговое объяснение:

1) Перенесем -1/2 в левую часть и приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{3*2(x+4)(x-2) - 4*2(x+3)(x-1) + (x+3)(x-1)(x+4)(x-2)}{2(x+3)(x-1)(x+4)(x-2)}=0$

2) Найдем ОДЗ:

$2(x+3)(x-1)(x+4)(x-2)\neq 0\\ x\neq -3; x\neq 1; x\neq -4; x\neq 2$

3) Упростим выражение:

$3*2(x+4)(x-2) - 4*2(x+3)(x-1) + (x+3)(x-1)(x+4)(x-2) = 6(x^{2}+4x-2x-8) - 8(x^{2}+3x-x-3) + (x^{2}+3x-x-3)(x^{2}+4x-2x-8) = 6(x^{2}+2x-8) - 8(x^{2}+2x-3) + (x^{2}+2x-3)(x^{2}+2x-8)$

4) Пусть $(x^{2}+2x) = t$, тогда:

$6(x^{2}+2x-8) - 8(x^{2}+2x-3) + (x^{2}+2x-3)(x^{2}+2x-8) = 6(t-8) - 8(t-3) + (t-3)(t-8) = 0\\ 6t-48-8t+24+(t^{2}-3t-8t+24)=0\\ -2t-24+t^{2}-11t+24=0\\ t^{2}-13t=0\\ t(t-13)=0\\ t=0;t=13$

5) Подставим полученные значения в замену и найдем х:

а) $x^{2}+2x=13\\ x^{2}+2x-13=0\\ D=4+52 = 56\\ x_{1} = \frac{-2+\sqrt{56} }{2}; x_{2} = \frac{-2-\sqrt{56} }{2}\\ x_{1} = \frac{-2+2\sqrt{14} }{2}; x_{2} = \frac{-2-2\sqrt{14} }{2}\\ x_{1} = \frac{2(-1+\sqrt{14}) }{2}; x_{2} = \frac{2(-1-\sqrt{14}) }{2}\\ x_{1} = -1+\sqrt{14}; x_{2} = -1-\sqrt{14}$

б) $x^{2}+2x = 0\\ x(x+2)=0\\ x_{3}=0; x_{4} =-2$