Question

Помогите пожалуйста Помогите

Answer 1

1) Метод неопределенных коэффициентов

$\int {\frac{x^2+2}{x^2-1} } \, dx =\int {\frac{x^2-1+3}{x^2-1} } \, dx =\int {(1+\frac{3}{x^2-1} )} \, dx = x+\int {\frac{3}{(x-1)(x+1)} } \, dx =$

$=x+\int {(\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}  )} \, dx =x+\int {\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x-1)(x+1)} } \, dx=$

$=x+\int {\frac{Ax+A+Bx-B}{(x-1)(x+1)} } \, dx =x+\int {\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)} } \, dx =x+\int {\frac{3}{(x-1)(x+1)} } \, dx$

Система

{ A + B = 0

{ A - B = 3

Складываем уравнения

2A = 3

A = 1,5

B = -1,5

$\int {\frac{x^2+2}{x^2-1} } \, dx =x+\int {(\frac{1,5}{x-1} -\frac{1,5}{x+1} )} \, dx =x+1,5ln|x-1|-1,5ln|x+1|+C$

2) Метод замены переменной

$\int {\frac{\sqrt[3]{arcsin(x)} }{\sqrt{1-x^2} } } \, dx =|arcsin(x)=t; dt=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} } |=\int {\sqrt[3]{t} } \, dt=\frac{t^{4/3}}{4/3} = \\ =\frac{3}{4}(arcsin(x))^{4/3}+C$