Question

Определить общее решение дифференциального уравнения:
y"-10y'+25y=0.
Определить частное решение дифференциального уравнения:
y'+y=xy, удовлетворяющее начальному условию y(2)=5.

Answer 1

Ответ:$y=e^{5x}(C_1+C_2x)$

$y = 5e^{0,5x^2-x}$

Пошаговое объяснение:

Определить общее решение дифференциального уравнения:

y" - 10y' + 25y = 0.

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

k² - 10k + 25 = 0

         (k - 5)² = 0

k₁ = k₂ = 5

Корни действительные и равные k₁ = k₂ = k . В этом случае общее решение уравнения:

$y=e^{kx}(C_1+C_2x)$

$y=e^{5x}(C_1+C_2x)$

Определить частное решение дифференциального уравнения:  

y'+y=xy, удовлетворяющее начальному условию y(2)=5.

Решение

y' + y = xy

    y'  = xy - у

Делим обе части уравнения на у

    $\frac{y'}{y} = x-1$

$\frac{dy}{y} = (x-1)dx$

Интегрируем обе части уравнения

$\int\limits{\frac{1}{y} } \, dy =\int\limits{(x-1)} \, dx$

ln|y| -lnC = 0.5x² - x

Запишем общее решение ДУ

$y = Ce^{0,5x^2-x}$

Найдем частное решение ДУ подставив начальные условия y(2)=5

$5 = Ce^{0,52^2-2}$

$C = 5$

Поэтому частное решение ДУ

$y = 5e^{0,5x^2-x}$