Question

80 баллов. Помогите решить задачу по геометрии, третьего уровня 11 класс.
Вершины квадрата, площадь которого равна 36см^2, лежат на окружностях оснований цилиндра. Угол между плоскостями квадрата и основания цилиндра равен 60°. Вычислите объем цилиндра.

Я вроде нашел высоту цилиндра, 3√3, но как найти объем дальше не знаю.

Answer 1

Высоту ты нашел правильно. Осталось найти площадь основания - как следствие, радиус окружности. Спроецируем верхнюю сторону квадрата на нижнее основание. Соединим полученные точки - получится прямоугольник (см. рис.). Так как угол равен 60 градусов, то прилежащий катет равен половине гипотенузы, которая в свою очередь равна стороне квадрата, то есть 6-ти см. Теперь будем работать с рисунком. Найдем синус угла фи. Гипотенуза равна $\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$; Синус равен $\sin \varphi = \frac{6}{3\sqrt{5}}= \frac{2\sqrt{5}}{5}$; Отсюда уже легко найти радиус:

$2R\sin\varphi = 6 \Leftrightarrow R=\frac{3}{\sin\varphi}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$. Объем: $V=\pi R^{2}h=\pi\times \frac{9\times 5}{4}\times 3\sqrt{3} = \frac{135\pi\sqrt{3}}{4}$