Question

СРОЧНО!!Пж помогите решить!

Answer 1

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2k+1)-(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)\Rightarrow$

$S_n=\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\ldots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)=$

$=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right);\ S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$