Question

Помогите решить логарифмическое неравенство.

Answer 1

$7^{\log_{7}^{2}x}+x^{\log_{7}x}<14 \Leftrightarrow (7^{\log_{7}x})^{\log_{7}x}+x^{\log_{7}x}<14$; Используя основное логарифмическое тождество, получим: $2x^{\log_{7}x}<14 \Leftrightarrow x^{\log_{7}x}<7\Leftrightarrow x^{\log_{7}x}<x^{\log_{x}7}$; После этого введем замену: $q=\log_{7}x$; Тогда: $7^{q^{2}}<7 \Leftrightarrow q\in(-1,\;1)$; Обратно к замене: $\left \{ {{\log_{7}x<1} \atop {\log_{7}x>-1}} \right.\Leftrightarrow \left \{ {{\log_{7}x-\log_{7}7<0} \atop {\log_{7}(7x)>0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{0<x<7} \atop {x>\frac{1}{7} }} \right.\Leftrightarrow x\in (\frac{1}{7},\; 7)$