Question

Математическая индукция, очень прошу помогите

Answer 1

Видимо, требуется доказать, что $2^{k}>k^{2}$, для, скажем, $k>4$; Пусть верно, что $2^{k}>k^{2}$ для некоторого k (существование такого k уже доказано базой индукции), покажем, что верно и $2^{k+1}>(k+1)^{2}$; Распишем: $2^{k+1}=2\times 2^{k}>2k^{2} >(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1 \Leftrightarrow k^{2}>2k+1$, а последнее неравенство верно для всех $k>1+\sqrt{2} \approx 2,41$, что меньше 4. Переход осуществлен.