Question

помогите решить. задание 15 из егэ математика проф

Answer 1

Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю. В итоге, $\frac{\sqrt{x+5}+4x-1}{x-2}>0$; Воспользуемся методом интервалов. Для этого нужно найти корни числителя и знаменателя. Со знаменателем все ясно, по сему обратимся к числителю. Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+5}+4x-1=0\Leftrightarrow \sqrt{x+5}=1-4x$; Функции и слева, и справа являются монотонными на всей области определения, а значит уравнение имеет не более 1 корня. Возведем обе части в квадрат: $x+5=1-8x+16x^{2} \Leftrightarrow 16x^{2}-9x-4=0 \Leftrightarrow x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{337}}{32}$; Заметим, что корень неотрицателен, а, значит, $\sqrt{x+5}=1-4x\geq 0 \Rightarrow x\leq \frac{1}{4}$; Найденный нами корень с "плюсом" перед радикалом не подходит - он больше 0,25, подставив приближенное значение корня с "минусом" говорит о том, что он подходит. На числовой прямой отметим числа 2 (корень знаменателя) и число $\frac{9-\sqrt{337}}{32}$ - все точки выколоты (неравенство строгое + знаменатель не равен 0). Также не забудем про ограничение: $\sqrt{x+5} \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x\geq -5$ - эту точку тоже подставим. Теперь расставим знаки. После этого можно писать ответ: $x\in [-5,\;\frac{9-\sqrt{337}}{32})\cup (2,\; \infty)$