Question

Внутри произвольного треугольника ABC взяли точку О равноудаленную от сторон AB и AC Докажите что точка О лежит на биссектрисе угла A

Answer 1

К сожалению, не могу Вам нарисовать. Не поддерживает мой браузер таких операций. Но все же.  постараюсь объяснить.

Пусть точки К и Т- основания перпендикуляров ОК и ОТ, проведенных к сторонам АВ и АС соответственно. ОК=ОТ- по условию, а АО- общая, тогда треугольники АОК и АОТ равны по катету и гипотенузе, а в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, т.к. КО=ТО, то Угол КАО=углу ТАО, но это доказывает, что АО - биссектриса угла КАТ, а, значит, и угла АВС,  а точка О- лежащая на этой биссектрисе точка.