помогите решить площадь любой закрашеной фигуры. есть ли какой-нибудь метод, чтобы точно знать что из чего вычитать или вообще ничего не вычитать?
Ответы
Ответ:
Пошаговое объяснение: 1. Суммируем интегралы на 2 отрезках. При чем первый со знаком "-", т.к. площадь под осью ОХ
S=-∫₀¹(-x³+4x²-3x)dx+∫₁²(-x³+4x²-3x)dx
2. Тут сначала надо найти точки пересечения с ОХ, чтобы иметь пределы интегрирования. Интеграл опять с минусом.
S=-∫ₓ₁ˣ²(x²-4)dx , или можно S=-2∫ₓ₁⁰(x²-4)dx
3-5. Аналогично. Функция одна и та же участвует в интеграле. Делим на интервалы, меняем пределы. Не забываем минус, когда площадь под ОХ.
6,7. Тут под интегралом разность. Первая функция та, что "сверху". Интервалы не делим, если площадь цельная.
Пишем так: (для 6 номера) на участке интегрирования {-1;2} x+2≥x²,
поэтому ∫₋₁²(x+2-x²)dx.
(Для 7 номера): ∫₋₂¹(-x-(x²-2))dx
8. Сначала находим точки пересечения графика с графиком y=1:
3-x²=1, x=±√2 Далее все так же
∫ₓ₁ˣ²(3-x²-1)dx
На первых 5 примерах мы вносили в интеграл только одну функцию, потому что вторая линия была y=0. Оттого и минус появляется, когда y=0 находится сверху. Например в 1 номере:
∫₀¹(0-(-x³+4x²-3x))dx и на следующем интервале:
∫₁²(-x³+4x²-3x-0)dx
Вывод: отнимать надо всегда. (Мы просто не пишем ноли, когда имеем дело с y=0). От функции , кот "сверху" отнимаем функцию, кот "снизу". Если участвуют три функции, тогда дробим интервалы интегрирования так, чтобы фигура ограничивалась 2мя! функциями.
Успеха)