Question

Помогите, пожалуйста!!!
Дан прямоугольный треугольник, у которого высота, опущенная на гипотенузу, составляет четвёртую часть от гипотенузы. Найдите острые углы треугольника.

Answer 1

Идея решения такая. Пусть наш треугольник ∆ABC с острым углом  С равным 90гр.
Теперь пусть катеты $AB,BC$ соответственно равны $x;y$, если гипотенуза равна $z$ то по условию высота равна $frac{z}{4}$ . Как известно высота абсолютно любого прямоугольного треугольника равна $frac{xy}{z}$ , воспользуемся этим , тогда наше выражение перепишется как $frac{xy}{z}=frac{z}{4}\ z^2=4xy$ , с учетом  теоремы Пифагора это выражение равна 
$4xy=x^2+y^2$
Теперь можно выразить одну величину с помощью другой переменной , решим ее как кв уравнение относительно х тогда 
$y^2-4xy+x^2=0\ D=16x^2-4x^2=sqrt{20}x\ y=2x+xsqrt{3}>0$
Теперь можно подставить абсолютно любую величину поставим х=1 ! Я проверил для всех величин это действительно !!!! 
Тогда сторона у равна $sqrt{3}+2$
Тогда гипотенуза равна $sqrt{(sqrt{3}+2)^2+1^2}=sqrt{8+4sqrt{3}}$
Теперь по теореме косинусов найдем углы 
Угол А (острый) 
$(sqrt{3}+2)^2=1^2+(8+4sqrt{3})^2-2sqrt{8+4sqrt{3}}*cosa\ cosa=frac{1}{2sqrt{2+2sqrt{3}}}}$
Угол В (острый)
$1^2=(2+sqrt{3})+(sqrt{8+4sqrt{3}})^2-2*sqrt{8+4sqrt{3}}*(2+sqrt{3})*cosb\ cosb=frac{9+5sqrt{3}}{4(2+sqrt{3})^{frac{3}{2}}}$