Question

Найти значение выражения:

$(1+tg1')*(1+tg2')*...*(1+tg44')$

 1 градус, 2' - два градуса и т.д

Нужно полное решение с понятными объяснениями.

Answer 1

Я с вашего позволения градусы не буду писать, но под знаком тангенса подразумеваются везде градусы.

Сначала запишем кое-какие выражения в общем виде, которые потом будем применять.

$tg(45- alpha )= cfrac{tg45-tg alpha }{1+tg45tg alpha } = cfrac{1-tg alpha }{1+tg alpha }$

$1+tg(45- alpha )=1+ cfrac{1-tg alpha }{1+tg alpha } = cfrac{1+tg alpha+1-tg alpha }{1+tg alpha } = cfrac{2 }{1+tg alpha }$

$(1+tga)(1+tg(45- alpha ))= (1+tga)cdot cfrac{2 }{1+tg alpha } =2$

Теперь берем наш пример и с учетом того, что мы только что вывели получаем:

$(1+tg1)(1+tg2)...(1+tg44)= \ =(1+tg1)...(1+tg22)(1+tg(45-22))...(1+tg(45-1))= \ =((1+tg1)(1+tg(45-1)))...((1+tg22)(1+tg(45-22))= \ =2cdot2...cdot2=2^{22}$

Опять же с вашего позволения оставляю в виде степени, а не в виде огромного количества цифр.

Ответ: $2^{22}$