Question

Две стороны параллелограмма равны 3 см и 2√2 см, а угол между ними 135°
Найдите: 1) Большую диагональ параллелограмма
2) Площадь параллелограмма

Answer 1

Пусть дан параллелограмм ABCD, при этом AB = 2√2 см;  AD = 3см;  ∠BAD = 135°.

1)

• Противоположные углы параллелограмма равны, а соседние (односторонние) в сумме дают 180°.

⇒ ∠ABC+∠BAD = 180°;

∠ABC = 180°-∠BAD;

∠ABC = 180°-135° = 45°.

• Против большего угла параллелограмма лежит большая диагональ.

∠BAD > ∠ABC  ⇒  необходимо найти BD.

В △ABD по теореме косинусов:

BD² = AB²+AD²-2·AB·AD·cosA;

BD² = (2√2)²+3²-2·2√2·3·cos135°;

*cosα = -cos(180°-α)  ⇒  cos135° = -cos(180°-135°) = -cos45°;

BD² = 8+9-12√2·(-cos45°);

$\tt BD^2=17+12\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=29;$

BD = √29 см

2)

• Площадь (S) параллелограмма вычисляется по формуле: S = a·b·sinα, где a и b - его стороны, а α - угол между сторонами.

S = AB·AD·sinA;

S = 2√2·3·sin135°;

*sinα = sin(180°-α)  ⇒  sin135° = sin(180°-135°) = sin45°;

$\tt \bold{S=}6\sqrt{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\bold{6}$ см².

Ответ: 1) √29 см; 2) 6 см².