Question

Задание 7 (ЕГЭ)
решить

Answer 1

Ответ:   108 .

Объяснение:

Если график функции, которым ограничена криволинейная трапеция, задан уравнением  y=f(x) , и он пересекает ось ОХ в точках с абсциссами х=а  и  у=b , то площадь такой криволинейной трапеции равна  $S=\int\limits^a_b\, f(x)\, dx$  .

$F(x)=-x^3+15x^2-48x+100\; \; \; \Rightarrow \; \; \; F'(x)=f(x)\\\\f(x)=-3x^2+30x-48=-3\cdot (x^2-10x+16)=-3\cdot \Big ((x-5)^2-25+16\Big )=\\\\=-3\cdot \Big ((x-5)^2-9\Big )=-3\cdot (x-5)^2+27$

Парабола у=-3(х-5)²+27 получается путём сдвига параболы у=27-3х² на 5 единиц влево . Параболы у=27-3х² пересекается с осью ОХ в точках (-3,0) и (3,0), вершина в точке (0,27) .

$S=\int\limits^3_{-3}\, (27-3x^2)\, dx=2\cdot \int \limits ^3_0(27-3x^2)\, dx=2\cdot (27x-x^3)\Big |_0^3=\\\\=2\cdot 27\cdot 3-27)=2\cdot 2\cdot 27=108$