Question

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Answer 1

$1)\\a)x^2dx=3y^2dy\\\frac{x^3}{3}=y^3+C\\y=\sqrt[3]{\frac{x^3}{3}+C}\\ b)y(1+x)dx+x(1-y)dy=0\\y(1+x)dx=-x(1-y)dy\\\frac{1-y}{y}dy=-\frac{1+x}{x}dx\\(\frac{1}{y}-1)dy=-(\frac{1}{x}+1)dx\\\ln(y)-y=-\ln(x)-x+C$

Под буквой б можно получить только общий интеграл.

$2)\\\left \{ {{y^2dx=e^{-x}dy} \atop {y(0)=1}} \right. \\\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{e^{-x}}\\-\frac{1}{y}=e^x+C\\-1=1+C\\C=-2\\y=-\frac{1}{e^{x}-2}$

$3)xy+y^2-(2x^2+xy)y'=0\\y'=\frac{xy+y^2}{2x^2+xy}\\y'=\frac{txty+t^2y^2}{2t^2x^2+txty}=\frac{t^2(xy+y^2)}{t^2(2x^2+xy)}=\frac{xy+y^2}{2x^2+xy}\\f(tx,ty)=f(x,y)=>y=ux;y'=u'x+u\\u'x+u=\frac{x^2u+u^2x^2}{2x^2+x^2u}\\u'x+u=\frac{x^2(u+u^2)}{x^2(2+u)}\\u'x=\frac{u+u^2}{2+u}-u=\frac{u+u^2-2u-u^2}{2+u}=\frac{-u}{2+u}\\\frac{du}{dx}x=\frac{-u}{2+u}\\\frac{(2+u)du}{u}=-\frac{1}{x}dx\\(\frac{2}{u}+1)du=\ln(\frac{1}{x})+C\\\ln(u^2)+u=\ln(\frac{1}{x})+C\\\ln(\frac{y^2}{x^2})+\frac{y}{x}=\ln(\frac{1}{x})+C$

Можно найти только общий интеграл

$xy'-xy=(1+x^2)e^x\\y'-y=\frac{(1+x^2)e^x}{x}\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u-uv=\frac{(1+x^2)e^x}{x}\\u'v+u(v'-v)=\frac{(1+x^2)e^x}{x}\\v'-v=0\\\frac{dv}{dx}=v\\\frac{dv}{v}=dx\\\ln(v)=x\\v=e^x\\u'e^x=\frac{(1+x^2)e^x}{x}\\u'=\frac{1}{x}+x\\\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}+x\\du=(\frac{1}{x}+x)dx\\u=\ln(x)+\frac{x^2}{2}+C\\y=(\ln(x)+\frac{x^2}{2}+C)e^x$