Question

логарифмическое неравенство

Answer 1

ОДЗ :

4x + 3 > 0

4x > - 3

x >-0,75

x ∈ (- 0,75 ; + ∞)

$log_{\frac{1}{4} }(4x+3)\geq -1\\\\log_{\frac{1}{4}}(4x+3)\geq log_{\frac{1}{4}}4\\\\0<\frac{1}{4}<1\\\\4x+3\leq4\\\\4x\leq 1\\x\leq 0,25$

x ∈ (- ∞ ; 0,25]

С учётом ОДЗ окончательный ответ : x ∈ (- 0,75 ; 0,25]

Answer 2

$\displaystyle \log_\frac{1}{4}(4x+3)\geq -1 |\cdot(-1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; ODZ: 4x+3>0\\ \log_4(4x+3)\leq 1 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x>-\frac{3}{4};$

Использую метод рационализации:

$\sf\boxed{\log_hf-1}\;\;V \;\; \boxed{(h-1)(f-h)}$

$(4-1)(4x+3-4)\leq 0 |:3\\4x-1\leq 0$

но, с учётом ОДЗ:

$\displaystyle \left \{ {{4x\leq 1} \atop {x>-\frac{3}{4}}} \right.\left \{ {{x\leq \frac{1}{4}} \atop {x>-\frac{3}{4}}} \right.  \left \{ {{+++++++++[\frac{1}{4}]-->x} \atop {---(-\frac{3}{4})+++++>ODZ}} \right.\\ x\in (-0,75;0,25]$

Ответ: $(-0,75;0,25]$