Предмет: Математика, автор: Аноним

Помогите решить дифференциальное уравнение 3981

Приложения:

Ответы

Автор ответа: Аноним
2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{y}{x(x^2+1)}=\dfrac{x(1+x^2)^2}{x(1+x^2)}

Домножим комплектующий множитель.

\mu (x)=\displaystyle e^{\int \frac{dx}{x(x^2+1)}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}

Имеем

\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{xy}{x(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x^2(x^2+1)^{3/2}}{x(x^2+1)}\\ \\ \\ \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\cdot\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)y=\dfrac{x^2(x^2+1)^{3/2}}{x(x^2+1)}\\ \\ \\ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+1}}\right)=x\sqrt{x^2+1}~~\Longleftrightarrow~~\displaystyle \int\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+1}}\right)dx=\intx\sqrt{x^2+1}dx\\ \\ \\ \dfrac{xy}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{3}(x^2+1)^{3/2}+C

\boxed{y=\dfrac{\sqrt{x^2+1}(\frac{1}{3}(x^2+1)^{3/2}+C)}{x}=\dfrac{(x^2+1)^2+C\sqrt{x^2+1}}{3x}}

Похожие вопросы