Question

Дан треугольник MNP, где M(-3;-2), N(1;4), P(2;-1). Найдите косинус угла M

Answer 1

Координаты векторов МN и МР:

$\tt\overline{MN}=\{1-(-3); \ 4-(-2)\}=\{4;6\}\\\overline{MP}=\{2-(-3); \ -1-(-2)\}=\{5;1\}$

Скалярное произведение векторов:

$\tt\overline{MN}\cdot\overline{MP}=4\cdot5+6\cdot1=26$

Длины векторов:

$\tt|\overline{MN}|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\|\overline{MP}|=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$

Косинус угла между векторами:

$\tt\cos M=\cfrac{\overline{MN}\cdot\overline{MP}}{|\overline{MN}|\cdot|\overline{MP}|} =\cfrac{26}{2\sqrt{13}\cdot\sqrt{26}}= \cfrac{26}{2\sqrt{13}\sqrt{13}\sqrt{2}}=\cfrac{26}{26\sqrt{2}}=\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$