Question

при каком значении параметра k корни уравнения x^2+x-k=0 удовлетворяют условию x1^-2+x2^-2=7/9

Answer 1

x^2+x-k=0

находим дискриминант:

D=1+4k

рассматриваем 3 случая:

1) D>0

$1+4k>0\\k>-\frac{1}{4} \\x_1=\frac{-1+\sqrt{1+4k}}{2} \\x_2=\frac{-1-\sqrt{1+4k}}{2}$

проверяем условие - подставляем значения x1 и x2:

$x_1^{-2}+x_2^{-2}=\frac{7}{9} \\(\frac{2}{-1+\sqrt{1+4k}} )^2+(\frac{2}{-1-\sqrt{1+4k}} )^2=\frac{7}{9} \\\frac{4}{1+4k-2\sqrt{1+4k}+1} +\frac{4}{1+1+4k+2\sqrt{1+4k}} =\frac{7}{9} \\\frac{2}{1+2k-\sqrt{1+4k}} +\frac{2}{1+2k+\sqrt{1+4k}} =\frac{7}{9} \\2(\frac{1+2k+\sqrt{1+4k}+1+2k-\sqrt{1+4k}}{(1+2k)^2-(\sqrt{1+4k})^2} )=\frac{7}{9} \\2(\frac{2+4k}{4k^2+4k+1-1-4k} )=\frac{7}{9} \\4(\frac{2k+1}{4k^2} )=\frac{7}{9}$

$\frac{2k+1}{k^2} =\frac{7}{9} \\18k+9=7k^2\\7k^2-18k-9=0\\D=18^2+4*7*9=576=24^2\\k_1=\frac{18+24}{14} =3\\k_2=\frac{18-24}{14} =-\frac{3}{7}$

проверяем:

k>-1/4

3>-1/4 - верно

-3/7>-1/4

3/7<1/4

12<7 - неверно, значит k=-3/7 не удовлетворяет условию

В итоге: k=3

2) D=0

$x_1=x_2=\frac{-1}{2} =-\frac{1}{2}$

проверяем условие - подставляем значение x1=x2=-0,5:

(-0,5)^(-2)+(-0,5)^(-2)=7/9

4+4=7/9 - неверно, значит x1=x2=-0,5 не удовлетворяют условию

3) D<0

уравнение не имеет действительных корней

Ответ: 3