Question

Докажите что данная функция не имеет точек экстремума :

1) f(x) = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 20

2) f(x) = cos x + x​

Answer 1

$\displaystyle f(x)=6x^5-15x^4+10x^3-20\\f'(x)=30x^4-60x^3+30x^2=30x^2(x^2-2x+1)=30x^2(x-1)^2; \\ f'(x)=0; \;\;\; 30x^2(x-1)^2=0; \\ x=0;x=1\\ +++[0]+++[1]+++>x$

0 и 1 являются корнями чётной степени ⇒ при переходе, через эти точки, производная не меняет знак ⇒ ф-ция не имеет точек экстремума.

$\displaystyle f(x)=\cos x+x \\ f'(x)=-\sin x+1; \; \; \; f'(x)=0; \\ -\sin x+1=0; \\ E(f'(x))=[0;2]$

в силу того, что

$-1\leq \sin x\leq 1 |\cdot (-1)\\1\geq -\sin x \geq -1\\ 2\geq -\sin x+1\geq 0$

Производная принимает НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ значения ⇒

f(x) - точек экстремумов не имеет.