Question

$1 - 2 \sin( \frac{\pi x}{2} ) = 3 \cdot {4}^{ \sqrt{ {x}^{4} + 21x + 20} }$
​

Answer 1

Рассмотрим функцию $f(x)=3\times 4^{\sqrt{x^{4}+21x+20}$; Легко виден корень -1 многочлена $x^{4}+21x+20$; Значит, это выражение обнуляется хотя бы в одной точке, следовательно $f(x)=3\times 4^{\sqrt{x^{4}+21x+20}}\geq 3\times 4^{0}=3$; С другой стороны, максимальное значение выражения, стоящего слева равно 3. Получаем, что должно выполняться условие $\sin\big(\frac{\pi x}{2}\big )=-1 \Leftrightarrow x=3+4\bf k,\; k\in\mathbb{Z}$; Надо также заметить, что минимум правой части достигается при x=-1 и, легко убедиться подстановкой некоторых значений, в некоторой нецелой точке. Получаем единственное решение при x=-1, действительно: $3+4k=-1 \Rightarrow k\in\mathbb{Z}$