Question

Помогите решить пример, пожалуйстаа

Answer 1

Выписав выражение первых членов этих последовательностей:

$a_2=\frac{a_1+b_1}{2}; b_2=\frac{a_1+3b_1}{4}; a_3=\frac{3a_1+5b_1}{8}; b_3=\frac{5a_1+11b_1}{16}; a_4=\frac{11a_1+21b_1}{32}; b_4=\frac{21a_1+43b_1}{64}$

можно выдвинуть гипотезу, что

$a_n=\frac{(1+2+8+32+\ldots +2\cdot 4^{n-3})a_1+(1+4+16+\ldots +4^{n-2})b_1}{2\cdot 4^{n-2}};$

$b_n=\frac{(1+4+16+\ldots +4^{n-2})a_1+(3+8+32+\ldots +2\cdot 4^{n-2})b_1}{4^{n-1}}.$

Воспользовавшись формулой для суммы нескольких членов геометрической прогрессии, запишем гипотезу в виде

$a_n=\frac{(2^{2n-3}+1)a_1+(2^{2n-2}-1)b_1}{3\cdot 2^{2n-3}};\ b_n=\frac{(2^{2n-2}-1)a_1+(2^{2n-1}+1)b_1}{3\cdot 2^{2n-2}}$

Удовольствие самостоятельно проверить справедливость гипотезы с помощью метода математической индукции я оставляю автору задания.