Question

Тело, брошенное под углом к горизонту, попадает в некоторую точку, расположенную на поверхности Земли, при двух разных значения угла бросания.В первом случае тело достигает высоты 10 м, а во втором 30 м. Под каким углом тело брошено в первый раз? До какой высоты поднялось бы тело, если бы его бросили вертикально вверх стой же по модулю скоростью?

Answer 1

Ответ:

30°, 40 м

Объяснение:

Если модуль скорости равен $v_0$, а угол к поверхности равен $\alpha$, то зависимость компонент скорости от времени (пока тело летит) следующая:

$\begin{cases}v_x(t)=v_{0x}=v_0\cos\alpha\\v_y(t)=v_{0y}-gt=v_0\sin\alpha-gt\end{cases}$

Зависимость координат от времени:

$\begin{cases}x(t)=v_{0x}t\\y(t)=v_{0y}t-\dfrac{gt^2}{2}\end{cases}$

Максимальная высота будет в момент времени $t=t^*$, когда $v_y(t^*)=0$; подставив его в уравнение для y(t), получаем зависимость высоты от угла бросания

$H=\dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}=h\sin^2\alpha$

Продолжительность полёта равна $2t^*$, подставляем её в выражение для x(t) и получаем дальность полёта

$L=\dfrac{v_0\sin2\alpha}{g}=l\sin2\alpha$

Пусть h выражено в метрах, тогда

$h\sin^2\alpha_1=10$, $h\sin^2\alpha_2=30$

Квадраты дальностей полёта должны быть равны:

$4l^2\sin^2\alpha_1\,(1-\sin^2\alpha_1)=4l^2\sin^2\alpha_2\,(1-\sin^2\alpha_2)\\\dfrac{10}h\left(1-\dfrac{10}h\right)=\dfrac{30}h\left(1-\dfrac{30}h\right)\\h-10=3h-90\\h=40$

h совпадает со значением высоты при бросании вертикально вверх

$40\sin^2\alpha_1=10\\\sin\alpha_1=\dfrac12\\\alpha_1=30^\circ$