Question

Как доказать, что при равных массах шаров угол между векторами импульсов всегда будет прямым?

Answer 1

Пусть рассматривается движение двух шаров под номерами 1 и 2. Выберем такую систему отсчета,  в которой скорость второго шарика равна нулю. Пусть также $\overline{v_{1}},\; \overline{v_{1'}}$ - векторы скоростей первого шарика до и после столкновения соответственно. Точно также определим $\overline{v_{2}},\; \overline{v_{2'}}$; Понятно, что удар нецентральный, иначе никакого угла и не было бы. Запишем закон сохранения импульса, с учетом $\overline{v_{2}}=\overline{0}$ ("масса" сократится): $\overline{v_{1}}+\overline{0}=\overline{v_{1'}}+\overline{v_{2'}}\Leftrightarrow \overline{v_{1}}=\overline{v_{1'}}+\overline{v_{2'}}$; Теперь возведем обе части в квадрат: $v_{1}=v_{1}^{2}'+v_{2}^{2}'+2\overline{v_{1'}v_{2'}}$; Теперь запишем закон сохранения энергии (сократив на массу):

$\frac{v_{1}^{2}}{2}=\frac{v_{1}^{2}'}{2}+\frac{v_{2}^{2}'}{2}\Leftrightarrow v_{1}^{2}=v_{1}^{2}'+v_{2}^{2}'$; Сравнивая полученные выражения, приходим к выводу, что $\overline{v_{1'}v_{2'}}=0$, что в общем-то и требовалось