Question

Решить дифференциальное уравнение tgx*y''-y'+1/sinx=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Понизим порядок дифференциального уравнения с помощь замены y' = z, тогда y'' = z', получаем

$z'{\rm tg}\, x-z+\dfrac{1}{\sin x}=0~~~~~|\cdot {\rm ctg}\, x$

$z'-z{\rm ctg}\, x=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin x}$

Умножив левую и правую части уравнения на $\mu(x)=e^{\int -{\rm ctg}\, x dx}=\dfrac{1}{\sin x}$, мы получим

$\dfrac{1}{\sin x}z'-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin x}z=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}\\ \\ \dfrac{1}{\sin x}\cdot\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)\cdot z=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}\\ \\ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{z}{\sin x}\right)=-{\rm ctg}\, x\cdot \dfrac{1}{\sin^2 x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$\displaystyle \dfrac{z}{\sin x}=\int {\rm ctg}\, xd\left({\rm ctg}\, x\right)=\dfrac{{\rm ctg}^2x}{2}+C_1\\ \\ z=\dfrac{\cos^2x}{2\sin x}+C_1\sin x\\ \\ y=\int \left(\dfrac{\cos^2x}{2\sin x}+C_1\sin x\right)dx=\dfrac{\cos x}{2}-\dfrac{1}{2}\ln\bigg|\dfrac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\bigg|-C_1\cos x+C_2$

или это сводится к $y=-\dfrac{1}{2}\ln\bigg|\dfrac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\bigg|+C_1\cos x+C_2$