Question

Найдите наибольшее значение функции y=1/3x^3+1/2x^2-6x на отрезке [-1;3]

Answer 1

$y=\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-6x$

Найдём производную :

$y'=\frac{1}{3}(x^{3})'+\frac{1}{2}(x^{2})'-6(x)'=\frac{1}{3}*3x^{2}+\frac{1}{2}*2x-6=x^{2}+x-6$

Найдём критические точки :

x² + x - 6 = 0

x₁ = - 3        x₂ = 2

x = - 3 не принадлежит отрезку  [ - 1 ; 3]

Найдём значения функции в критической точке x = 2 и на концах отрезка и сравним их .

$y(-1)=\frac{1}{3}*(-1)^{3}+\frac{1}{2}*(-1)^{2}-6*(-1)=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+6=6\frac{1}{6}\\\\y(2)=\frac{1}{3}*2^{3}+\frac{1}{2}*2^{2}-6*2=\frac{8}{3}+2-12=2\frac{2}{3}-10=-7\frac{1}{3}\\\\y(3)=\frac{1}{3}*3^{3}+\frac{1}{2}*3^{2}-6*3=9+4,5-18=13,5-18=-4,5$

Ответ : наибольшее значение функции равно 6 1/6