Question

Необходимо решить уравнение и дать пояснения.
$x^{2} -(3+5i)x+9i-6=0$

Answer 1

Ответ:

x = 3i или x = 3 + 2i

Объяснение:

Все формулы для вещественного случая работают и тут.

Дискриминант:

$D=(3+5i)^2-4\cdot1\cdot(9i-6)=9-25+30i-36i+24=8-6i$

Дальше нужно будет извлечь корень из дискриминанта. В данном случае он легко угадывается, но пусть мы его не угадали; поищем такие вещественные a и b, что $(a+ib)^2=8-6i$. Раскрываем скобки и получаем

$(a^2-b^2)+2iab=8-6i\\\begin{cases}a^2-b^2=8\\ab=-3\end{cases}$

Возводим второе уравнение в квадрат, получаем, что сумма $a^2$ и $-b^2$ равна 8, их произведение – -9. По теореме, обратной к теореме Виета,  $a^2$ и $-b^2$  – корни уравнения $t^2-8t-9=0$, очевидно, $a^2=9$, $b^2=1$. Подстановкой убеждаемся, что $a+ib$ равно $\pm(3-i)$.

Продолжаем применять формулы:

$x_{1,2}=\dfrac{(3+5i)\pm(3-i)}{2}\in\left\{3i,3+2i\right\}$

Это и есть ответ.